tisches Integral einzuführen, dessen beliebiger Modul, in geeigneter Weise bestimmt, eine grössere Convergenz der Entwickelung der negativen und ungeraden Potenzen der Entfernungen, namentlich bei geringen Werthen der Entfernungen, herbeiführt. Dieser Grundgedanke wurde von Herrn Gyldén in einer Reihe meist in den Petersburger Bulletins und Mémoires und in den Stockholmer Handlingar und Öfversigt publicirten Arbeiten in seinen Details mit Rücksicht auf Störungsrechnungen verfolgt.

Beiläufig möge darauf hingewiesen werden, dass nach dem von Herrn Scheibner in den Astr. Nachr. (Bd. 103, 1882) publicirten Berichte über ein in Hansen's Nachlass aufgefundenes, von einem Schüler Jacobi's herrührendes Manuscript ein elliptisches Integral für die Differenz der mittleren Anomalien des störenden und des gestörten Körpers eingeführt wird, um die Entwickelungen der Potenzen der Entfernung stärker convergent zu machen.

Als der Urheber dieses Gedankens ist mit grosser Wahrscheinlichkeit Jacobi selbst zu betrachten. Dieses freilich erst seit Kurzem bekannte Document dürfte wohl bei der Prioritätsfrage in Betreff der Einführung elliptischer Functionen in die Störungsrechnungen von grösserem Gewichte sein, als die erst aus dem Jahre 1863 stammende, zudem unbestimmte Aeusserung Ångström's in seiner Abhandlung,,Sur deux inégalités de le comète de Halley" (Nova acta Upsal. Vol. 4, 1863).

Herrn Gyldén's mathematische Untersuchungen haben durch v. Asten eine praktische Anwendung durch die Berechnung der Jupiterstörungen des Encke'schen Cometen in einem gewissen Theile seiner Bahn erfahren; diese in der ersten Abhandlung Asten's über die Theorie des Encke'schen Cometen publicirten Rechnungen (Mém. acad. Pétersb. T. 18, No. 10, 1872) bilden neben Herrn Gyldén's theoretischen Entwickelungen die Grundlage der vorliegenden Arbeit des Herrn Backlund.

In Asten's Abhandlung sind die Theilpunkte der Cometenbahn symmetrisch zu der grossen Axe der Ellipse gewählt, wodurch die analytische Form der Entwickelungen einfacher wird. Ausserdem führt Asten nach Herrn Gyldén's Vorschlage in den Formeln für die Theilung der Bahn anstatt der von Hansen angewandten Winkel elliptische Integrale von bestimmten Moduln ein.

Die Bahn wird vorerst durch die Substitutionen:

=

in zwei Theile zerlegt, welche symmetrisch zur grossen Axe liegen und begrenzt sind durch die wahren Anomalien V1 = 170° und 190° oder durch die excentrischen Anomalien E, 146° 5' 1566 und 213° 54' 44"34; so dass der Modul der ersten Amplitude gleich 0.956528, der der zweiten Amplitude gleich 0.087156 ist. Durch die erste Formel wird selbstverständlich der untere Theil, durch die zweite der obere Theil der Bahn dargestellt.

Die sonst beliebigen Moduln sind in diesen Substitutionsformeln so gewählt, dass cos

E

2

und singleichfalls einfache elliptische Functionen, nämlich am, werden und sich somit auch cos E, sin E, cos v und sin v durch einfache elliptische Functionen ausdrücken lassen. In der zweiten Formel aber scheint nicht cos sondern nach Hansen cos deswegen

E

2

I

r

ข

2

eingeführt zu sein, weil dadurch im oberen Theile der Bahn eine ähnliche Function von yo und v1 wird, wie im unteren Theile der Bahn r von x。 und E1, und diese Verhältnisse wünschenswerth schienen mit Rücksicht auf die früheren Entwickelungen der Störungsfunction nach dem kleineren der Verhältnisse oder der Entfernungen der beiden Körper, und mit Rücksicht auf die ursprünglich beabsichtigte Verlegung der zwei Theilpunkte in diejenigen Stellen der Bahn, wo r=r' ist. Bei dem jetzigen veränderten Standpunkte der Theorie scheint eine derartige Unterscheidung unnöthig.

r

Um die Entwickelungen in Bezug auf x。 und y。 noch convergenter zu machen, sind für diese Variabelen in verschieVierteljahrsschr. d Astronom. Gesellschaft. 18

3

denen Theilen der Bahn verschiedene Winkel w eingeführt nach den folgenden Formeln:

6) sin xo

wobei für die

-=

1'2 sin2

2

Constanten / und bez. die Werthe cos 50° und sin 50° so gewählt sind, dass xo, yo und die wahren Anomalien in den sechs durch die letzten Substitutionen entstehenden Theilen zwischen den Grenzen liegen

Durch Einführung der o an Stelle von x und y。 werden r cos v, r sin v, r und μt sämmtlich trigonometrische Reihen, welche nach den Cosinus der Vielfachen von wo fortschreiten.

3.

Bei der Berechnung der Potenzen der Entfernung des Cometen vom störenden Planeten entwickelt man analytisch nach der speciellen Anomalie c'x, führt dagegen die Entwickelungen in Bezug auf die ∞ durch mechanische Quadratur aus. Es müssen also aus für aequidistante Werthe der o geltenden Reihen für 4'2 von der Form:

42: = Ση

о

in welcher die numerischen Constanten M'n und N'n von der nten Ordnung in der kleinen Excentricität des störenden Planeten sind, und § c'x - F sich von c'x nur um den constanten willkürlichen Winkel F unterscheidet Entwickelungen für die negativen und ungraden Potenzen von 4' gewonnen werden. Wesentlich kommt dieses Problem bei der starken Convergenz der Reihe für 2 darauf hinaus, die negativen

und ungraden Potenzen von MM'cos + M'sin § zu bilden, da das Restglied von 4'2 von der zweiten Ordnung der Excentricität des störenden Planeten ist. Man kann das Restglied sogar, indem man 42 mit 1 + x' cos § +y' sin § multiplicirt, auf eine Grösse dritter Ordnung in dieser Excentricität herabdrücken, da die willkürlichen Grössen x' und y so bestimmt werden können, dass im Producte die Coefficienten von cos 2 und sin 2 § verschwinden. Durch die Hinzufügung des Factors 1+x' cos y sin entstehen keine Schwierigkeiten, weil in den negativen ungraden Potenzen von nur die positiven ungraden Potenzen aus der Quadratwurzel dieses Factors auftreten. Die Hauptschwierigkeit der Ti + T2 besteht also

Entwickelungen für 4′ =√1+x' cost+y' sing

darin, die negativen und ungraden Potenzen des Ausdrucks VT, =VM+ M1 cos + N1 sin §=VM [1+ cos (έ+4)] zu bilden, worin Ø von der nullten Ordnung in der Excentricität ist, und im Falle, dass 4' sehr klein wird, sich von der Einheit nur wenig unterscheidet.

Zur stärkeren Convergenz der Entwickelungen für die negativen und ungraden Potenzen von T1 wird T, durch die Einführung des elliptischen Integrals x vermittelst der Relation

Es könnte hier am vortheilhaftesten scheinen, den willkürlichen Winkel F so zu bestimmen, dass in T1 der Coefficient N1, also auch der Winkel 4 verschwindet, und den willkür

würde. Indessen würden dadurch die Entwickelungen von VT, für die verschiedenen speciellen Werthe von 4' die Einführung verschiedener Werthe von F und verschiedener Moduln erfordern. In Anbetracht dieses erheblichen Nachtheiles erscheint es angemessen, sich einestheils die Wahl von F vorerst frei zu halten, und anderntheils für keinen festen Mo

dul ein für alle Mal anzunehmen; letzteres um so mehr, als die im weiteren Verlaufe auftretenden zahlreichen Entwickelungen, für welche die Coefficienten nur von diesem Modul abhängen, dann durch eine einmalige Berechnung ermittelt und tabulirt werden können. Herrn Gyldén's ,,Recueil de tables" (Stockholms Observatorium, Astronomiska jakttagelser och undersökningar, Vol. 1, Heft 3, 1877) enthält die allein vom Modul abhängigen Entwickelungen für den Werth k= 0.9939552. In Asten's Arbeit ist die Form

T1 = M。 ( 1 + ℗ cos (2 am 2x+4))

benutzt. Die hierbei auftretenden Operationen des Ueberganges von den trigonometrischen Reihen nach der Amplitude auf solche nach dem elliptischen Integrale sind, wenn schon Herrn Gyldén's Tafeln dabei sehr förderlich sind, nicht in kurzer Zeit ausgeführt; ausserdem ist -die einzige in den 413 Hansen'schen Störungsformeln vorkommende Potenz zu multipliciren mit cos v′undsin v', welche Reihen leicht in die

Form

I

I

Σ Žpp, c cos pš+np,s sin p§ }

gebracht, aber erst durch umständliche Rechnungen mit Hülfe von Herrn Gyldén's Tafeln in der zuletzt erwähnten Form von als Reihen nach x erhalten werden können. Die Δ' 2 m + 1 grösste Schwierigkeit dieses Weges liegt aber in der mecha

I

und für

r' COS a' sin

v,

418

nischen Multiplication der Reihen für deren jede einem so geübten Rechner, wie von Asten, über 4 Arbeitsstunden gekostet hat.

Diese Schwierigkeiten musste man streben durch Transformationen von T1 und Einführung zweckmässigerer Entwickelungsformen zu heben.

In dem oben angeführten Werke Herrn Gyldén's finden sich zwei von Herrn Backlund benutzte Transformationen von T1. Die erste erhält man durch die bekannte Substitution

1.