nicht mehr genüge, und darauf hingewiesen, dass die successiven Annäherungen, wenn man von osculirenden Kepler'schen Ellipsen ausgeht, nicht immer convergiren und in Folge dessen nur in beschränkter Weise brauchbar sind. Durch die Güte meines Freundes Prof. Mittag-Leffler habe ich seitdem Gelegenheit gehabt, Kenntniss von den Vorlesungen zu nehmen, die Professor Weierstrass über das Problem der Störungen in der Astronomie vergangenen Winter gehalten hat. Obwohl die Wiedergabe jener Vorlesungen, welche Herrn Mittag-Leffler durch einen seiner früheren Schüler aus Berlin zugesandt wurde, nicht durchgearbeitet zu sein scheint und in Folge dessen vielleicht nicht völlig correct ist, glaube ich aus derselben doch schliessen zu dürfen, dass die daselbst vertretenen Ansichten sich so ziemlich mit denjenigen decken, die ich in dem oben erwähnten Aufsatze ausgesprochen habe. Das Hauptargument gegen das ältere Verfahren bildet, wenn ich den Sinn jener Vorlesungen richtig verstanden habe, das Vorkommen von Gliedern, welche die Zeit ausserhalb der Sinus- und Cosinuszeichen enthalten. Nun lassen sich aber bekanntlich solche Glieder durch rein periodische ersetzen, bei denen die Perioden entweder sehr lang, oder auch von den Umlaufszeiten sehr wenig verschieden sind. Ob nun ein System elliptischer Elemente nebst ihren in solcher Weise angegebenen Säcularstörungen als wahrer Ausgangspunkt angesehen werden kann, ist eine Frage, deren Erledigung in den genannten Vorlesungen ich nicht habe finden können. Die nachfolgende Analyse wird vielleicht dazu dienen, über den betreffenden Punkt einiges Licht zu verbreiten, welches einer Antwort im bejahenden Sinne allerdings nicht günstig sein wird. Ueberdies werde ich das Princip einer anderen Behandlungsweise angeben, welches, so viel ich sehe, als ein wahrer, d. h. als ein durch fortgesetzte Annäherungen zum Ziele führender Ausgangspunkt angesehen werden kann. Die Betrachtungen werde ich an die Integration der nachstehenden Differentialgleichung zweiter Ordnung knüpfen 12+e=4+¥1e + ¥1⁄2e2 + . . . ; dv2 bedeuten, so dass eine Grösse von der Ordnung der Excentricitäten sein würde. Die F, F, ... sind hingegen Grössen erster Ordnung in Bezug auf die störenden Kräfte. Indem ich nun für To, F1,... constante Werthe annehme, und durch 10 die I const. bedeuten, und habe zur Bestimmung von o die Differentialgleichung wo also die ẞ Constanten bedeuten, deren numerische Werthe innerhalb der Grenzen der Functionen T, T1,... liegen. In der Kepler'schen Hypothese verschwinden die ß, und es bleibt woraus sogleich folgt, indem wir mit g und zwei Integrationsconstanten bezeichnen Es fragt sich nun, ob dieser Werth von o als eine wirkliche Annäherung an den aus der vollständigen Gleichung (1) gezogenen wahren Werth anzusehen ist, d. h. ob die Verbesserung dieses Werthes im Verhältniss zu dem wahren Werthe selbst als eine kleine Grösse zu betrachten sei, nach deren steigenden Potenzen man die successiven Annäherungen ordnen kann. Diese Frage lässt sich in folgender Weise erledigen. Der aus der Gleichung (2) gefolgerte Werth von sei durch g, und die Differenz beider durch g, bezeichnet, so dass man hat: Wird nun unter Berücksichtigung dieser Bezeichnung die Gleichung (2) von der Gleichung (1) abgezogen, so bleibt Man könnte nun glauben, da sämmtliche Glieder rechter Hand wenigstens von der ersten Ordnung sind, dass auch o̟, erster Ordnung sein müsse; dem ist aber nicht so. Man braucht nur die Glieder d2 01 dv2 auszuheben, um sogleich zu erkennen, dass ein Glied enthalten würde, welches mit v multiplicirt wäre, und folglich mit diesem Argumente beliebig gross werden könnte. Um ein solches Glied zu vermeiden, muss noch ein Glied zweiter Ordnung mitgenommen werden. Betrachten wir daher die Gleichung so finden wir unter andern Gliedern auch solche von der Form: iv - in Pige V1 − ß1 v — iv + in dv, welche offenbar von derselben Ordnung wie o̟ sind. Es geht hieraus hervor, dass man höchstens nur eine annähernde Aehnlichkeit, nie aber eine für unbegrenzte Zeiten gültige Annäherung erhält, indem man von der Gleichung (2) ausgeht. Nur wenn man nach den Potenzen von v entwickelt, erhält man eine wirkliche Annäherung, aber auch nur eine solche, die auf gewisse begrenzte Werthe von beschränkt wird, weil nämlich der vollständige Ausdruck von o im Allgemeinen nicht durch eine Potenzenreihe nach der Veränderlichen v darstellbar ist, sondern durch Verhältnisse solcher Reihen. Es bleibt ferner zu untersuchen, ob nicht der aus der Gleichung (4) dv2 o=% ('g — 1) + gefolgerte Werth von go als ein Näherungswerth von o anzusehen wäre. Für diesen Fall haben wir 2 3 + (1 − B1) 91 = Po + P2 Qo2 + ßs Co3 + . . . Bezeichnen wir nun die rechte Seite kurz durch Z, so er Aus Z entnehmen wir nun dasjenige Glied, dessen Argument Vi B1v ist; wir finden dieses Glied, indem der Werth von in den Gliedern ẞ, 93, B5 905, ... eingeführt wird, und zwar ergibt sich für dasselbe: Dieses, in dem vorhergehenden Ausdrucke von eingesetzt, gibt zu Gliedern Veranlassung, bei denen v ausserhalb der Sinus- und Cosinuszeichen vorkommt, eine Lösung, die wir nicht als unserem Zweck entsprechend ansehen können. Es lässt sich aber leicht eine andere Lösung angeben, bei der die Entwickelung nach den Potenzen von v vermieden wird. Die Grösse 3 3 2 enthält nämlich das constante Glied 3 i β, υ + ( 1 − P2 — 6 ß3 8 2) 9 = 3 Ps g3 ( e ¿ V 1 in + ... +. Die Ausführung der verlangten Integrationen lässt unter andern auch das Glied zum Vorschein kommen, welches zwar nur die Hälfte von Co beträgt, immerhin jedoch als von derselben Grössenordnung angesehen werden muss. Wir können daher keineswegs behaupten, in den so eben gewonnenen Resultaten einen wahren Ausgangspunkt gewonnen zu haben. Wesentlich anders gestaltet sich die Sache, wenn wir o aus der Gleichung bestimmen. Indem wir nur die Glieder hinsetzen, welche zur Beurtheilung der vorliegenden Frage von wesentlichem Einfluss sind, und von diesen nur die grössten, gelangen wir zu der Gleichung Um nun zunächst zu bestimmen, integriren wir die Gleichung (6) und erhalten somit wobei g eine Integrationsconstante bezeichnet. Dieses Resultat können wir auch unter der nachstehenden Form angeben indem wir nämlich die Grössen z und k als aus den nachstehenden Gleichungen bestimmt denken Wir erhalten nun, indem wir durch x das Argument |